Oszacowanie masy supermasywnej czarnej dziury Sgr A* w centrum Drogi Mlecznej

Spis treści
Zadania:

Zadanie 3. Określenie parametrów orbity gwiazdy S2 oraz jej okresu obiegu

Posiadając podane poniżej współrzędne gwiazdy S2 w różnych czasach należy dopasować do niej elipsę. Elipsa ta będzie przybliżoną orbitą gwiazdy S2, a to dlatego że każdy z punktów posiada pewną niepewność pomiarową



Data (rok)Współrzędna x (arc sec)Niepewność dx (arc sec) Współrzędna y (arc sec)Niepewność dy (arc sec)
1992,2260,1040,003-0,1660,004
1994,3210,0970,003-0,1890,004
1995,5310,0870,002-0,1920,003
1996,2560,0750,007-0,1970,010
1996,4280,0770,002-0,1930,003
1997,5430,0520,004-0,1830,006
1998,3650,0360,001-0,1670,002
1999,4650,0220,004-0,1560,006
2000,474-0,0000,002-0,1030,003
2000,523-0,0130,003-0,1130,004
2001,502-0,0260,002-0,0680,003
2002,252-0,0130,0050,0030,007
2002,334-0,0070,0030,0160,004
2002,4080,0090,0030,0230,005
2002,5750,0320,0020,0160,003
2002,6500,0370,0020,0090,003
2003,2140,0720,001-0,0240,002
2003,3530,0770,002-0,0300,002
2003,4540,0810,002-0,0360,002

Tabela 1. Współrzędne gwiazdy S2



Aby opisać dowolną elipsę należy dokonać jej obrotu i przesunięcia. Problem ten można rozwiązać korzystając z macierzy i równań opartych na współrzędnych biegunowych.

Każdy punkt elipsy we współrzędnych biegunowych można zapisać jako:



gdzie:
a - wielka półoś orbity
b - mała półoś orbity
fin - kąt biegunowy (0 - 2pi)

Te współrzędne opisują nam punkty elipsy nie obróconej pod żadnym kątem o środku w punkcie (0;0).

Kolejny wzór przedstawia macierz obrotu o kąt alfa:


Dzięki macierzy obrotu możemy wyliczyć współrzędne każdego punktu elipsy obróconej pod pewnym kątem. Współrzędne te możemy obliczyć w następujący sposób:




to współrzędne środka elipsy

Ostateczne wzory, które będą nam potrzebne to:






Aby wyliczyć okres obiegu należy policzyć pola trójkątów, których wierzchołki składają się z dwóch kolejnych punktów i ogniska. Pole to możemy wyliczyć ze wzoru:



Jak wiemy z II prawa Keplera ciało niebieskie zakreśla takie samo pole w równych odstępach czasu. Potrzebne do tego będzie jeszcze pole elipsy, które można obliczyć ze wzoru:
P = pi*a*b

Powyższe ćwiczenie możemy rozwiązać z wykorzystaniem arkusza Excela, co przedstawione zostanie w kolejnym punkcie.

Validated by HTML Validator (based on Tidy)